שונאים מתמטיקה? אתם יותר טובים ממה שאתם חושבים

חשבו על מספר. כל מספר. נניח, 10. עכשיו חשבו, אילו שני מספרים ניתן לסכום כדי להגיע למספר הזה. 5 5? מצוין. 7 2 1? למה לא. האם יש אפשרויות נוספות, כמה יש? מסוקרנים? עוד לא? רגע, לאן אתם הולכים?

מתמטיקה היא אחד המקצועות עם יחסי הציבור הכי גרועים בין אלה הנלמדים בתיכון, אולי לצד לשון ודקדוק. מדוע אנשים רבים כל כך שונאים מקצוע מסוים בעוצמה רבה כל כך? חוקרים בתחום הוראת המתמטיקה מנסים לפענח את הסיבות ולתת להן פתרונות. זה חשוב משום שיכולות מתמטיות נמצאות בבסיס של מקצועות רבים החשובים לקיום כלכלה חסונה וחדשנית, אבל אולי חיוני לעשות זאת פשוט מפני שלימודי מתמטיקה גורמים כל כך הרבה סבל לכל כך הרבה אנשים, שהמומחים בטוחים שאפשר להחליף אותו בתהליך של יצירה, יופי והתפעמות.

"נכון שלא כל אחד יכול בהכרח להיות גאון במתמטיקה", אומרת פרופ' ברברה יוורסקי, פרופסור להוראת מתמטיקה מאוניברסיטת לוגבורו באנגליה, "אבל כל אחד יכול לאהוב מתמטיקה. אם תיסעי ברכבת או תחכי בתור לרופא, מה אנשים עושים כדי להעביר את הזמן?. רבים מהם עושים סודוקו - משחק מספרים שחוזר על עצמו שוב ושוב. עושים זאת בשביל הכיף, ואלה לאו דווקא אנשים שהבריקו במתמטיקה בתיכון. בכל זאת משהו מענג אותם במספרים הללו, בסדר ובחוקיות שלהם". יוורסקי השתתפה לאחרונה בכנס שערכה המכללה האקדמית לחינוך ע"ש דוד ילין בירושלים, שעסקה בשיפור הוראת המקצוע. אבל לפני שמשפרים, צריך להבין מדוע מדובר בנושא כל כך טעון. "בבית הספר היסודי הילדים דווקא לעתים קרובות אוהבים מתמטיקה ורבים יגידו שזה מקצוע מועדף עליהם", אומרת פרופ' יוורסקי. "הבעיה מתחילה לרוב לקראת המעבר לחטיבה. התרגול של מתמטיקה הופך להיות רפטטיבי מאוד. תלמידים צריכים ללמוד בעל פה נוסחאות בלי להבין עד הסוף מדוע הן נראות כך או בשביל מה הן פותחו מלכתחילה. ואם אתה לא זוכר לרגע את הנוסחה, התשובה שלך תהיה לא נכונה ואם אתה טועה, אתה אומר לעצמך, כנראה אני ממש גרוע בזה. ואולי אני לא כל כך חכם", כי לכא ורה ידוע שהאנשים החכמים "באמת" הם אלה שטובים במתמטיקה.

מכשול נוסף הוא שמתמטיקה אינה מחוברת באופן אינטואיטיבי לעולם הרגש, לעומת מקצועות כמו ספרות, תנ"ך, היסטוריה או מדעי החברה שבהם אנחנו יכולים למצוא את החיבור הרגשי באופן מיידי, אבל פרופ' ירווסקי בטוחה שהיינו מגלים מיד שמתמטיקה עונה לנו על צורך רגשי לו רק היו מלמדים אותה כיאות. "יכול להיות שאנשים אוהבים לעסוק במקצועות כמו היסטוריה, ספרות או אמנות כי זה מתרגל את הרכיב הרגשי שלהם, אבל אנשים גם רוצים לתרגל את הרכיב האינטלקטואלי שלהם, ולכל אחד יש רכיב כזה, ללא קשר לרמת האינטליגנציה", היא אומרת. "מתמטיקה היא דרך להביע את היצירתיות השכלית שלך, כמו שאמנות היא דרך להביע יצירתיות רגשית".

גילאי 0-6: יכולת מולדת או נרכשת?

ילדים קטנים בדרך כלל אוהבים ללמוד כל דבר, ובין היתר לעסוק במספרים. יש ילדים שלומדים במהירות ואחרים שלוקח להם קצת יותר זמן. המומחים שראיינו לכתבה זו מודים שיכולת מתמטית היא במידה רבה עניין מולד, אבל מוסיפים שכל אחד יכול לפתח את היכולת שאיתה נולד, בדרך כלל הרבה מעבר למה שהוא מאמין שאפשר.

"אנחנו לא רואים גיל שאם פספסת אותו, פספסת את המתמטיקה", אומרת יוורסקי. "בשלב הילדות המוקדמת יותר קל להרוס מאשר להועיל, כך שממש לא כדאי להכריח ילד קטן לעסוק בזה באופן שהופך את החומר לעול, ובוודאי לא לתייג אותו כבר בשלב הזה כ'לא מוצלח בזה'. עם זאת - אם הילד מראה ניצני כישרון מיוחדים או קושי כדאי לתבל במתמטיקה את חיי היומיום. למשל, אם מוזגים כוס מיץ עם תרכיז, אפשר לדבר על שברים - כמה תרכיז צריך לשים כדי שהמיץ יהיה מתוק? כמה כדי שיהיה פחות מתוק?".

פרופ' אבי ברמן מהחוג להוראת המדעים בטכניון, מוסיף: "אני לא חושב שיש חלון הזדמנויות בגילים המאוד צעירים דווקא. אנחנו מכירים מקרים של מתמטיקאים, אפילו עילויים, ש'איחרו לפרוח', ואפילו עד גיל התיכון לא הראו כישרון מיוחד בתחום".

- מה ניתן לעשות עם פעוטות וילדים קטנים כדי להכיר להם את ההנאה שבתחום?

ד"ר ניצה כהן, מהחוג להוראת המדעים בדוד ילין: "אפשר לעשות איתם כל דבר, אבל ברמה שלהם. למשל, אפשר לתת להם אוסף של צורות גיאומטריות, ולשחק 'דומינו צורות' - לבקש מהם לשים ליד כל צורה צורה אחרת שיש לה משהו משותף עם הקודמת, ולהסביר זאת במילים שלהם: 'שתיהן יכולות להתגלגל' או 'לשתיהן יש פינה'. כך הם מכירים צורות דרך משחק ולומדים מאפיינים שלהן, גם לפני שיש להם שפה פורמלית לתאר אותן. אחרי שעברו חוויה כזו, קל להם יותר להבין בשביל מה הם צריכים הגדרות רשמיות כמו 'זווית' או 'פאה'".

דוגמה נוספת היא לדבר על התמנון הנרי יש לו 8 ידיים בלבד, אבל רוצה לספור עד יותר משמונה. איך תוכלו לעזור לו? ילדים העלו רעיונות כמו לצייר כמה קווים על כל יד או לשים סוכריה בכד כל פעם שעוברים את 8 ומתחילים מחדש. התרגיל משמש להבנה אינטואיטיבית יותר של השיטה העשרונית.

פרופ' ירווסקי: "בשאלות לסטודנטים על הסתברות, אנחנו מציעים להם לדמיין שק עם כדורים לבנים ואדומים, ולשאול מה ההסתברות להוציא שני כדורים אדומים ברצף. לילד אני יכולה להראות שק אמיתי כזה ולבקש ממנו לשלוף כדורים עד שייצאו לו שני אדומים. זה משחק, 'תראה, יצא לנו אדום!', 'אוי, יצא לנו לבן'. 'הוצאתי הרבה כדורים לבנים ונשארו מעט בשק, אתה חושב שעכשיו יש יותר סיכוי שייצאו שני אדומים רצוף?'. כך אני מתחילה לדבר איתו על סיכויים. 'ואם אחליף את הכחולים בלבנים?' ילד חכם יאמר לי 'מה זה משנה, יש בדיוק אותו מספר'".

גילאי 6-12: בדידותם של הבדידים

בסוף בשנות ה-80 התברר שהתלמידים הישראלים הידרדרו מאוד במיקומם בדירוגים העולמיים של ידע מתמטי - מהמקום השני המכובד שהשיגו בשנות ה-60 עד למקום 38. יש עדיין ויכוח אם הסקר של שנות ה-60 היה אמיתי או מוטה, אבל בעקבות ההידרדרות הוחלפה במהירות שיטת הלימוד בבתי הספר.

חלק מהקוראים ודאי זוכרים את השיטה שננטשה, שיטת הבדידים שבה כפיסי עץ באורכים ובצבעים שונים ייצגו את המספרים. מומחים להוראת מתמטיקה טענו נגד הבדידים שהם קושרים בין מספר לעולם מוחשי מאוד של צבע וצורה במקום לקשור אותו לעולם מופשט יותר ולכמות.

"אני חושבת שהבדידים היו שעיר לעזאזל", אומרת ד"ר כהן. "הם נועדו להיות כלי המחשה ראשוני, שממנו ניתן לצאת לעולם של הפשטה. הורים לא הבינו את הבדידים ואת הקשר שלהם למתמטיקה או לחיים האמיתיים. הם שאלו, למה לא עם מטבעות? למה לא עם סוכריות? הם התעצבנו שהבדידים אינם דומים לשיטות שבהן הם עצמם למדו חשבון". בטח גם לא היה תענוג גדול לדרוך יחפים על בדיד באמצע הלילה או להחליף מערכת בדידים שאבד בה חלק.

"השיטה גם התפשטה מהר מדי", מודה ד"ר כהן. "הכוונה שלנו הייתה שהיא תיושם בהדרגה על ידי מורים שמבינים אותה היטב. במקום זאת היא הונחתה על מורים שלא היה להם מושג בשביל מה צריך את זה, הם הנחיתו אותם על התלמידים".

החלופה שהוצעה לשיטת הבדידים הייתה שיטת סינגפור, שנקראה כך משום שהיא פופולרית בסינגפור, המובילה לעתים קרובות בדירוג העולמי. השיטה הזאת מתאפיינת ב"חזרה ספירלית" - קודם כול לומדים את המונחים בצורה מאוד מוחשית וגשמית, אבל עם דוגמאות מעולמות תוכן רבים. אחר כך, עוברים לרמה המופשטת יותר, אך שוב חוזרים לאותם מושגי יסוד (ולכן - ספירלה). כך, למשל, שברים יכולים להיות תחילה תרכיז בכוס מיץ, אחר כך חתיכה מתוך עוגה, אחרי כן מספר תלמידים מתוך כיתה שלמה. בהדרגה נוטשים את העזרים ועוברים לנייר ועט, אבל כאמור, בכל פעם מדברים על אותם מושגי יסוד.

המאפיין השני של שיטת סינגפור, שאותו מנסים ליישם היום ברחבי העולם בכל תחומי הלימוד, הוא החקירה העצמית. למשל, כשמדברים על שברים, מורה המלמד בשיטה הישנה יגיד, "כך מחברים שני שלישים לשלושה רבעים. קודם מוצאים מכנה משותף...". מורה בשיטת החקר יראה לילדים את השברים וישאל: "איך לדעתכם כדאי לחבר אותם?" וייתן להם לנסות להגיע לפתרון בעצמם. כך הם יעברו תהליך רגשי של חשיבה אקטיבית ויצירה, שהוא מהנה יותר, וגם יזכרו את החומר טוב יותר.

פרופ' יוורסקי ופרופ' ברמן מדגישים שניהם עד כמה חשובה בשלב זה הרגישות לכל ילד וילד. "פעם היה לי בכיתת מחוננים ילד שבכל שיעור היה פתאום יוצא לשירותים", אומר ברמן. "שמתי לב שזה קורה דווקא כשנשאלות שאלות קשות, ונראה היה שעוד לפני שהוא מספיק לחשוב על השאלה מישהו אחר כבר צועק את הפתרון. הוא היה מתוסכל, גם מהתהליך המחשבתי שנקטע כל הזמן וגם מכך שהרגיש טיפש, ובגלל התסכול - ברח". פרופ' ברמן החל לשאול את הילדים את השאלות באופן אישי, במקום כקבוצה. הילד פרח והשלפוחית נרגעה.

"אבל החקר צריך להיות רק חלק מהשיעור, ולא הייתי מוותרת התרגול", מדגישה פרופ' יוורסקי. "למשל על למידה בעל פה של לוח הכפל, אבל גם את הלמידה בעל פה ניתן לעשות בכיף, במשחק, ולא לומר לילד שאם לא הצליח בכך הוא לא חכם".

גילאי 12-18: מי צריך מתמטיקה גבוהה?

אחת ההרצאות הפופולריות ברשת העוסקת בהוראת מתמטיקה היא של ג'ון בנט, מורה בתיכון, הטוען שמתמטיקה תיכונית אינה שימושית ביומיום ולכן כדאי ללמדה רק את מי שנמשכים אליה באופן טבעי. המומחים שראיינו מתנגדים לכך נחרצות וטוענים שמתמטיקה מפתחת את החשיבה באופן ייחודי, וכן שתלמידים לא יוכלו לדעת אם הם נמשכים למתמטיקה גבוהה אם לא יתנסו בה.

"אני עצמי לא כל כך טובה בחישובים שלומדים ביסודי, ובכל זאת מחשיבה עצמי, ואחרים מחשיבים אותי, מתמטיקאית", אומרת ד"ר כהן. לדבריה, היא "מצאה את עצמה" דווקא במתמטיקה של התיכון.

"אתה אף פעם לא יודע איפה תפגוש את המתמטיקה", אומרת פרופ' יוורסקי. "נניח, אם אתה רוצה לתפור שמלה שלא תיקרע, לבנות גשר שלא ייפול. נכון, יש היום מחשבונים ותוכנות לכל דבר, אבל אתה צריך לדעת מה להכניס למחשב כדי להתקרב יותר לתוצאה הרצויה. מעבר לכך, היא מפתחת את החשיבה הלוגית באופן ייחודי".

פרופ' ברמן טוען שאת החומר ניתן להתאים בתיכון למה שהתלמידים מתכוונים לעשות בעתיד. צוות שבו הוא שותף עובד היום כדי להתאים את תוכנית הלימודים כך שתלמידי 3 יחידות ילמדו בעיקר את החומר שהם עשויים לפגוש בחיי היומיום, ב-4 יחידות ילמדו מתמטיקה המתאימה למדעי החברה, עם דגש על סטטיסטיקה, וב-5 יחידות ילמדו מתמטיקה שימושית למדעים מדויקים. יחידת העילית, 7 יחידות, תלמד מתמטיקה גבוהה לשם יופייה בלבד.

אגב, מצבה של ישראל בדירוג העולמי לא השתפר במיוחד מאז החלפת הבדידים. "הבעיה העיקרית היא בהכשרת המורים", אומרת הגר גל, ראש החוג למתמטיקה ופיזיקה במכללת דוד ילין. "זה מקצוע מאתגר עבורנו במיוחד: מי שיודע מתמטיקה יכול להרוויח לרוב הרבה יותר במקצועות אחרים שאינם הוראה, כך שאת רוב המורים שלנו אנחנו צריכים להכשיר מהיסוד במתמטיקה, ולעתים הם צריכים להתגבר גם על רתיעה או חששות שלהם עצמם יש מהתחום, כדי שחלילה לא יעבירו אותם לילדים. מי שיודע מתמטיקה, כי למשל עשה הסבה להוראה ממקצוע אחר, לפעמים כל כך שוחה במתמטיקה, שהוא לא מבין מה לא ברור. הבעיה היא שאין לנו מספיק לא מאלה ולא מאלה, הממשלה צריכה לעזור בכך".

כשד"ר כהן נתקלת במורים החוששים ממתמטיקה היא עובדת איתם בשיטות החקר, כמו עם התלמידים. "בכיתות הכשרת המורים שלי כולם משחקים - עם בלונים וכדורים כדי ללמוד את הנדסת המרחב; עם מקלות של ארטיק כדי לבדוק מאפיינים של צורות. גם לימוד ההוראה נעשה בשיטה של חקר - אני שואלת אותם איך ניתן להציג את הרעיון הזה לילדים? אני מבקשת מהם להציג את התרגיל לילדים שהם מכירים ולספר לנו מה עבד, מה צריך לשנות".

גילאי 50- 120: אף פעם לא מאוחר?

האם אדם מבוגר ומיושב בחייו, שמכיר את עצמו כמי שגרוע במתמטיקה, יכול לשנות את המצב הזה מקצה לקצה? "בהחלט אפשר ללמוד מתמטיקה מההתחלה, בשיטות החדשות", אומרת גל, "נכון, זה דורש זמן ומאמץ, ונכון, לכל אחד יש רף אחר שאליו הוא יכול להגיע, אבל אפשר להשתפר באופן משמעותי".

- אבל האם כל אחד יכול להיות טוב במתמטיקה?

פרופ' יוורסקי: "יש אנשים שסובלים מכשל בהבנת מתמטיקה הנקרא דיסקלקוליה. נערך היום מחקר מקיף כדי להבין איפה בדיוק הכשל שלהם בהבנה, כדי שאפשר יהיה לעזור להם לעקוף אותו, וזה אפשרי. רוב האנשים שחשים שאינם טובים במתמטיקה לא באמת סובלים מדיסקלקוליה, אלא יכולים להבין אותה היטב בלימוד נכון. השאלה היא עד כמה הם מוכנים להשקיע בזה בגיל מבוגר. אצל אנשים שסובלים מחרדת מתמטיקה, ברגע שיש מצב של מורכבות רבה, הפחד משתלט והם בכלל לא מצליחים לחשוב. האתגר הוא באותו רגע לקחת אותם צעד אחד אחורה, בדרך כלל למקום קצת פחות מופשט, להראות להם משהו שהם כן מבינים בקלות, ואז שוב לבנות את הדברים כלפי מעלה".

- נניח שמישהו היום רק "'טוב" במתמטיקה, האם המתמטיקה הגבוהה היא משהו שהוא יוכל להבין אם יסבירו לו לאט מספיק?

גל: "מתמטיקה ברמה כזאת אינה חסומה בפני רוב האנושות, אלא שצריך להשקיע בה כל כך הרבה מאמץ ותרגול, שלא בטוח שלכל אחד זה כדאי. אם מישהו חושב שזה כדאי לו, אני מאמינה שהוא יכול להבין מזה הרבה יותר ממה שנדמה לו כרגע, ובוודאי ליהנות מהדרך".

ופרופ' יוורסקי מסכמת: "גם חוקרים מובילים במתמטיקה, מדיסציפלינות שונות, יצטרכו להשקיע הרבה זמן כדי להבין את הטרמינולוגיה ואת המאמרים זה של זה".