המתמטיקאים יוצאים ממגדל השן ומחפשים פתרונות פשוטים

הכתבה הזאת עומדת לעסוק במתמטיקה גבוהה, אבל אל תברחו עדיין. המתמטיקה הזאת מנהלת היום את חיינו, באמצעות "האלגוריתם". האלגוריתם מחליט כיצד ניסע, האלגוריתם מחליט את מי נפגוש כל יום ברשתות החברתיות, האלגוריתם מחליט אם נקבל אישור לכרטיס אשראי חדש. אם לא ניזהר, האלגוריתם עוד עלול להחליט אם אנחנו נאמנים מספיק למדינה.

פעם, מתמטיקה גבוהה, מהמדעים הפחות נגישים משום יכולת ההפשטה שהיא דורשת, הייתה מקצוע שכמעט לא חרג ממגדל השן האקדמי. היישומים היומיומיים שלה היו מעטים, והעוסקים במקצוע ראו בו שעשוע למוחות המבריקים ביותר. אם כבר נמצא למתמטיקה הזאת יישום, זה היה נחמד מבחינתם, אך לא ממש מעניינם. ואז באה מהפכת המחשוב, והעולם האמיתי החל להידפק על דלתות המתמטיקה ולבקש ממנה פתרונות ממשיים. כך, יצאו אט-אט המתמטיקאים מחדריהם הסגורים, תוך כדי מצמוצים זהירים, והחלו "ללכלך את הידיים" כמו כל המדענים היישומיים.

זה מה שקרה גם לאחד המתמטיקאים המפורסמים של העשורים האחרונים, פרופ' לזלו לובאס ההונגרי. "המוטיבציה העיקרית שלי היא עדיין היופי הפנימי של המתמטיקה והאתגר להבין את הלוגיקה של העולם", הוא אומר בראיון ל"גלובס", אך תמיד התעניינתי גם בעולם האמיתי ובבעיותיו. אני מאוד שמח שזכיתי לחיות בתקופה המלהיבה הזאת, שבה המתמטיקה עברה שתיים-שלוש מהפכות שקירבו אותה לעולם הממשי. המחשוב הפך את החישוב המורכב לחלק מהחיים, והתובנות מהעולם הממוחשב הוזנו מחדש לתוך עולם המתמטיקה התיאורטית והשפיעו עליה מאוד".

לובאס, המכהן בין היתר כנשיא איחוד המתמטיקה הבינלאומי, הגיע לאחרונה לישראל לרגל קבלת תואר דוקטור של כבוד מאוניברסיטת תל אביב. בעבר זכה גם בפרס וולף היוקרתי ובפרסים רבים נוספים.

האם אתה יכול לתת דוגמה, כדי שנבין על מה אתה מדבר?

"נניח שאנחנו רוצים לבנות אלגוריתם לניהול התנועה בעיר מסוימת. לשם כך עלינו לדעת מה הקשר בין אוטובוסים מסוימים לכבישים מסוימים, באילו כבישים הם יכולים לנסוע ובאילו הם אינם יכולים לנסוע, ואולי יש גם קשר בין האוטובוסים לבין עצמם - לדוגמה, אם מגיעים יותר מדי אוטובוסים למקום מסוים יש כפילות ובזבוז משאבים. לפעמים חלק מהקשרים הללו אינם ברורים לעין מיד. למשל, אם אוטובוס מס' 3 עובר כאן זה אומר שאוטובוס מס' 10 לעולם לא יוכל לעבור באותו מקום, אם רוצים שהאלגוריתם יעבוד. הקשרים החבויים הללו נקראים מצבים דגנרטיביים. עלתה השאלה איך אפשר להפוך את הקשרים הללו גלויים לעין.

"כדי לעשות זאת, חזרנו לתורת המשחקים של המאה ה-19. למתמטיקאים אז לא היו מחשבים, ולכן הם נאלצו לפתח תורה שאפשרה להם לבצע קירוב מאוד מוצלח ושימושי של שברים ארוכים, באמצעות שברים פשוטים. למשל, את המספר פאי אפשר להציג כשבר שלעולם לא נגמר או כשבר פשוט 22/7, שזה קירוב לא רע שלו . אפשר לקרב אותו באמצעות שברים אחרים, אבל הם יהיו פחות מדויקים.

"מתברר שבאמצעות שימוש בקירובים האלה, אפשר להוציא לאור חלק מהקשרים החבויים הללו. וזה לא שלקחנו את הגישה הזאת מהמדף כמו שהיא, אלא ייעלנו אותה והפכנו אותה ידידותית למחשב".

"בהמשך, אומר לובאס, התברר שהיישום הכי מעניין של הגישה הזאת הוא באבטחת מידע. "יש כל מיני דרכים להצפין מידע, אבל הצפנה תמיד מבוססת על קשר סודי בין רכיבים, שידוע לצד המצפין ואינו ידוע לצד שמנסה לפענח את ההצפנה. אם יש לנו שיטה להוציא לאור קשרים חבויים בין מספרים, נוכל לפענח סוגים רבים של הצפנה. משתמשים בשיטה שלנו גם בהצפנה וגם בפענוח. לרוב משתמשים בשיטה שלנו כדי להראות שהקשרים לא חבויים מספיק ואפשר לאתר אותם. לשמחתנו, ישנם סוגי הצפנה שעבורם זה לא עובד, אחרת לא היינו יכולים להצפין כלום.

"כך, שאלה שהחלה כסוגיה אסתטית, כפתרון לבעיה שעצבנה אותנו כי משהו במתמטיקה לא היה אלגנטי מספיק, אפילו שברמה הפרקטית הייתה אפשרות לעקוף את זה, בסופו של דבר התגלתה כפתרון לסוגיה מתחום אחר לגמרי".

אלא שברגע שהסוגיה נהייתה יישומית, לובאס מצא את עצמו בבעיה נוספת. "כעת היינו צריכים למצוא לא רק את המשוואה שפותרת את הבעיה, אלא את הדרך לתאר אותה באמצעות אלגוריתם פשוט, שלא דורש משאבים רבים מדי וניתן ליישם אותו בכלים החישוביים הקיימים. אם עד עכשיו במתמטיקה השאלה הייתה רק מה אפשרי ומה לא אפשרי, היום ישנו מיקוד רב בשאלה איך לפשט את הפתרון ככל האפשר. הגישה הזאת חדרה לתחומים שונים של המתמטיקה".

ואתה מרגיש שהגישה הזו ממש שינתה את עולם המתמטיקה ?

"כן. כמובן, כל מה שנמצא במתמטיקה עד היום הוא עדיין תקף, אבל הוספנו לו עוד ממד".

דיונים עם ארדש וגילויים בגיל תיכון

לובאס (70) נולד בבודפשט, הונגריה, והחל בלימודי המתמטיקה הגבוהה בגיל צעיר מאוד, באופן לא פורמלי. "היה לי הרבה מזל, כי בדיוק כשהגעתי לבית הספר התיכון התקיים שם לראשונה קורס מתמטיקה מתקדם ניסיוני, והשתתפו בו חוקרים מהאוניברסיטה שהגיעו לדבר איתנו וללמד אותנו. כך הכרתי את פאול ארדש".

ארדש, אחד המתמטיקאים הנודעים של המאה ה-20, התפרסם בזכות היכולות המתמטיות הייחודיות שלו, המוזרות שלו והאובססיה שלו לשיתופי פעולה. לפי כתבה שפורסמה עליו במגזין "טיים", הוא נהג להתדפק על דלתו של קולגה לאחר שנטל מנה מסחרית של אמפתמינים ולקרוא, 'המוח שלי פתוח'. בשבועיים הבאים החוקר השותף נאלץ לטפל באורח שלא הצליח לקלח או להאכיל את עצמו, אבל פלט רצף תודעה מלהיב ומסחרר. במסגרת אירועים כאלה נולדו חלק מהתגליות המעניינות ביותר שלו. ארדש, אגב, היה יהודי ובילה חלק משמעותי מזמנו בישראל, והשפיע רבות על מדענים ישראלים.

לובאס נחשף לצד קצת יותר מעודן שלו כשהיה תלמיד תיכון, כאשר ארדש קיבץ סביבו חבורה של סטודנטים מכל הסוגים והרמות, עם התעניינות אמיתית במתמטיקה. הוא אירח אותם לדיונים קבוצתיים, נעדרי היררכיה, ואז חד להם חידות והציג להם בעיות מסקרנות, וגם התעניין בדעתם. "כך למדתי איך מחקר מתמטי באמת עובד", נזכר לובאס בעיניים נוצצות. "אתה מתחיל עם שאלה, עונה על חלקה, ואז זה מוביל אותך לעוד שאלה, ואולי למענה על שאלה אחרת לגמרי שלא שאלת".

כך, עד סוף התיכון, גילה לובאס גילויים מתמטיים ראויים לפרסום. כל התחום היה אז בחיתוליו", הוא מצטנע. "אז היה קל יותר להטביע חותם".

היה אז קשר בין המדע ההונגרי למדע המערבי ?

"כן, אפשר לומר שהונגריה הייתה המדינה הפתוחה ביותר בגוש המזרחי. לארדש היה הסכם עם הממשלה שלפיו הוא יכול לנסוע בחופשיות. הוא תקשר לנו את עולם המדע שבחוץ. הקשר היה מוגבל אך קיים, והחסמים היו ביורוקרטיים אבל לא קשיחים. לובאס עצמו עשה את הפוסט-דוקטורט שלו בארה"ב, "כדי לפתוח קצת את הראש", ואז חזר למשרה בהונגריה.

"אבל בשנות ה-90 המוקדמות, המצב בהונגריה היה מורכב. השלטון השתנה ושום דבר לא עבד והיו לנו ארבעה ילדים. אמרנו, נעבור לארה"ב לתקופה. בסוף נשארנו 15 שנים". לובאס כיהן כמרצה וחוקר באוניברסיטת ייל במשך שש שנים, ובין השנים 1999-2006 עבד במחלקת המחקר של חברת מיקרוסופט.

איך נראתה מחלקת המחקר במיקרוסופט אז?

"זו הייתה סביבה דמוית-אוניברסיטה מבחינתנו. נתנו לנו לעשות פחות או יותר מה שרצינו, שזו גישה מצוינת. ההבדל העיקרי היה שאם מישהו הגיע אליך עם שאלה, ציפו ממך לענות לו".

"תורת הרשתות - מתמטיקה מסוג חדש"

במיקרוסופט, לובאס וחוקרים אחרים ניסו לפתח תיאוריה מתמטית לרשתות מאוד גדולות, ו"זה עדיין עניין מרכזי עבורי ועבור רבים בעשור האחרון", הוא אומר.

תחום הרשתות הוא אולי מעט יותר אינטואיטיבי לאדם הסביר, הרי כולנו חיים אותן. אנחנו מודעים לכך שהמוח שלנו הוא רשת, אנחנו מודעים היטב לרשתות החברתיות שלנו, יודעים שהמחשבים שלנו מחוברים זה לזה ברשת, ובין שחשבנו על כך ובין שלא חשבנו על כך, כל חומר שאנחנו נתקלים בו סביבנו הוא למעשה רשת של אטומים או מולקולות. כולל אנחנו עצמנו.

"אנחנו מפתחים בהדרגה כלים יותר ויותר מתוחכמים למיפוי של רשתות", אומר לובאס. "כאשר ממפים רשת בצורה נכונה, אפשר לשאול שאלות כמו מיהם אותם גורמים מרכזיים שכאשר חוסמים את פעילותם הרשת משנה את פעילותה באופן דרמטי. זה משמעותי, לדוגמה, בפיתוח תרופות שפועלות על מולקולות מסוימות בגוף והן קריטיות למחלה, או לאילו קבוצות הגורמים מתקבצים.

"בעבר, כדי לתאר העולם בצורה מתמטית, הייתה לנו הגיאומטריה הקלאסית של אוקלידס, ותורת המספרים הפשוטים המוכרת לכולנו, שפיתחו המתמטיקאים ההודים והמוסלמים. במאות ה-17 וה-18 פותח החשבון האינפיניטסימלי והאינטגרלי (חדוו"א). זה התפתח מאוד עם ההתפתחות של הפיזיקה. בהמשך הגיעה הסטטיסטיקה, כלי שכמעט לא ניתן לחיות בלעדיו בשום סוג שלמדע. כיום תורת הרשתות היא מדע חדש, מתמטיקה מסוג חדש.

"גם תורת הרשתות, כמו תורת ההקשרים החבויים, נחשבה בעבר לשעשוע בידורי ובלתי ישים. רוב השאלות שנשאלו בתחום הזה נפלו תחת ההגדרה של תורת המשחקים, ופתרון חידות שמתמטיקאים חדו לצורכיהם הם. אולם ברגע שבני אדם החלו ליצור מעגלים חשמליים ולחבר ביניהם, נהיה ברור שלא נוכל לנהל אותם אם לא נוכל לזהות את ההשפעות ההדדיות של הרכיבים המרכזיים".

מה היו פריצות הדרך הגדולות בתחום?

"הן עוד לא היו, הן מתהוות ברגעים אלה. את אחד הרעיונות אני יכול לנסות להסביר: אם תיקחי חתיכה גדולה של פלדה, תדעי שיש בין האטומים שלה רשת של קשרים, ואת צריכה להבין את הקשרים האלה כדי לדעת מה יקרה לקורה הזאת בלחץ, מה יקרה לה בחיכוך. אבל אם את מהנדסת, אז כדי להקל על עצמך תתייחסי לחומר כאל 'מתכת', כאילו היא אחידה.

"אז אנחנו מנסים ליישם אחידות כזו גם ברשתות אחרות. קוראים לזה 'תיאוריית הגבול של הרשתות'. האטומים כל כך קטנים ביחס לקורה, שאפשר להניח שהם קטנים באופן אינסופי. אולי גם נוירונים הם קטנים ביחס לרשת של המוח, שאפשר להניח שהמוח הוא מעין חומר אחיד. או שני אדם הם קטנים ביחס לרשת החברתית, כך שאפשר להכליל התנהגות בחברה בלי להתייחס לבני האדם הספציפיים בה. התקווה היא שבעתיד ניתן יהיה לכתוב משוואות כאלה עבור כל רשת.

"אלא שאנחנו מודעים לכך שיש הבדל בין קורת ברזל לבין המוח. התיאוריה עובדת מצוין אם הרשת מאוד אחידה ומאוד צפופה, וקצת פחות מוצלחת אם הרשת לא צפופה, אם יש בה צווארי בקבוק שהרבה מידע עובר דרכם, או שיש בה גורמים שקשורים רק למעט רכיבים. רשת צפופה זה למשל אבק בחלל. כל גרגר אבק מושך כל גרגר אחר. זה יחסית נדיר. באינטרנט, למשל, הרשת לא צפופה כי המכשיר שלך מחובר אולי רק לעוד מספר קטן של מכשירים. והחלבונים בתא? שם הבעיה שהרשת עוד בכלל לא ידועה. יש אינטראקציות שבכלל לא נצפו ולכן אי-אפשר לתאר את הגוף כרשת באופן מלא. ויש הבדל בין סוגי קשרים, בין עוצמות קשרים.

"המטרה שלנו היא לבנות לרשתות גדולות ומורכבות מודלים שייצגו אותן באופן מוקטן ופשוט יותר, אך עדיין יספקו תובנות מעניינות וינבאו לנו בדרגה סבירה של קירוב מה יקרה ברשתות הגדולות. וזו כרגע אחת הבעיות הלא פתורות האהובות עליי - איך ממדלים כך רשתות שאינן צפופות. הדבר המעניין הוא שכבר הוכח שניתן למדל רשתות כאלה. אני חושב שפרופ' נוגה אלון הישראלי הוא זה שהוכיח שהדבר אפשרי. אולם אם בעבר המתמטיקאים היו מסתפקים בכך, היום עולם המחשוב דורש מאיתנו באמת לעשות את זה, ועוד באופן שהוא ריאלי מבחינת דרישת המשאבים. זו דוגמה נפלאה לאופן שבו המחשוב משנה את חיינו כמדענים. העובדה שהוכחנו שמשהו אפשרי עוד לא אומרת שהצלחנו לעשות את זה".

בינתיים האנושות יוצרת עוד ועוד רשתות לומדות שהיא לא מסוגלת למדל.

"נכון, וזו גם שאלה מתמטית מעניינת, האם רשת לומדת בהכרח יוצרת גרסת 'סקייל דאון' של תופעת הטבע שהיא מנסה לחקות. למשל, האם מחשב שמשחק שח הוא 'סקייל דאון' של הרשת, המתאר את כל המהלכים האפשריים בשח? אם כן, הרי שמחשב פתר את הבעיה שהצגנו בלי שבני אדם הבינו את הפתרון במלואו, וזה קצת הזוי ומאוד חדש".

האם השינוי הזה שינה גם את התרבות הארגונית בעולם מחקר המתמטיקה?

"כן, מתמטיקה תמיד הייתה גם יישומית, אבל אחד השינויים הדרמטיים הוא באופן שבו אנחנו צריכים להציג את הממצאים שלנו. בעבר, לא הייתי טורח להגיע לכנסים של הקולגות שלי, אלא רק לכנסים שהם ממש בתחום שלי, כי גם אני לא הבנתי על מה מדברים מתמטיקאים בתחום שרחוק קצת משלי, מעבר לכמה משפטים ראשונים. היום ברור לכול שצריך לדבר בשפה שלא רק הקולגות הקרובים ביותר שלך מבינים. לכל הפחות אנשים מתחומים שונים במתמטיקה חייבים לתקשר זה עם זה, כי אנחנו מתמודדים עם בעיות דומות מזוויות שונות".

"חייבים להבין איך ללמד מתמטיקה, כדי שכולם יבינו את העולם ברמת הפשטה כזו"

לובאס, המנהל כיום את האקדמיה ההונגרית למדעים, רשת של 45 מכוני מחקר, אומר שהוא גאה במיוחד בכך שהחזיר לחיים את תחום המחקר במתודולוגיה חינוכית, שהונגריה הצטיינה בו בשנות ה-70 ומאז הוזנח קצת.

"שיטות ללימוד מתמטיקה, או שפה, או מוזיקה, או כל מקצוע אחר, חייבות להיות מבוססות מחקר", הוא אומר, "לעתים קרובות מדי מטמיעים שיטה רק כי מישהו מתלהב ממנה. מדוע? הרי חינוך הוא מדע, זה מדע המוח.

אפשר להשתמש אפילו בסריקת מוח כדי לראות איזו שיטת לימוד עובדת בצורה הטובה ביותר, איזו מפתחת את האזורים הרלוונטיים במוח בצורה התואמת ביותר את האופן שבו הם נראים אצל מי שכבר למד אותה מיומנות.

חייבים, לדוגמה, להתאים את לימודי המוזיקה לעולם של היום, שבו כולם חשופים למוזיקה מגיל אפס. השיטות לא יכולות להיות זהות לאלה שבהן למדו מוזיקה בעבר. חייבים להבין מתי ואיך ללמד מתמטיקה, כדי שלכולם תהיה היכולת להבין את העולם בכזו רמה של הפשטה.

"הדבר שמעודד אותי הוא שהמורים מתלהבים מאוד מכך, הם רוצים לשתף פעולה, וגם אם אנחנו מוגבלים תקציבים, בזכות ההתלהבות של מורי בתי הספר, הפעילות שלנו הרבה יותר משמעותית מכפי שנראה היה שהתקציב יאפשר".

ת"ז: פרופ' לזלו לובאס

גיל: 70

תפקיד: מנהל האקדמיה ההונגרית למדעים

השכלה: למד מתמטיקה באקדמיה ההונגרית למדעים בבודפשט ואחר כך באוניברסיטת אטווש לורנד בהונגריה

קריירה: משנת 1990 שימש כמרצה באוניברסיטת ייל, ארה"ב, ועד 2006 היה חבר במעבדות המחקר של מיקרוסופט כיום הוא מנהל האקדמיה ההונגרית למדעים ועוסק במידול רשתות

עוד משהו: עד סוף התיכון כבר גילה תגליות מתמטיות שהיו ראויות לפרסום. לאחרונה הגיע לישראל כדי לקבל תואר דוקטור של כבוד מאוניברסיטת תל אביב