איך הצליח חובב חידות לפתור בעיה שהעסיקה מתמטיקאים במשך עשורים

יום אחד קיבל פרופ' קרייג קפלן מאוניברסיטת ווטרלו בקנדה, הודעת אימייל מסקרנת. הכותב היה דיוויד סמית', טכנאי הדפסות בפנסיה, אותו הכיר קפלן מהקהילה הקטנטנה של חובבי המתמטיקה של ריצוף המישורים. "תעיף מבט על הצורה הזו", הפציר סמית'.

קפלן העיף מבט, והגילוי העיף לו את הסכך. נראה היה כי הצורה שאותה הציג לו סמית', היא "אריח איינשטיין", אותו חוקרים בתחום "הריצוף של המישור" חיפשו קרוב ל־60 שנה. הם קראו לה, "הכובע" לאור הדמיון המסוים לכובע הפדורה. השניים החלו לעבוד כדי להוכיח כי המצולע הפשוט בעל 13 הצדדים שסמית' מצא אכן עונה לדרישות ולהגדרות.

● "זאת הסיבה שאנחנו כל הזמן עייפים": החוקרת שיודעת איך לשפר את איכות הקשב שלנו | הצוללת
● כך התרסק שוק הקנאביס הישראלי, שהבטיח הכנסות של מיליארדים | ניתוח
● הבטחת האלצהיימר ועתיד התרופות נגד דיכאון: מנכ"ל החברה המדוברת בעולם בראיון

במרץ האחרון הם פרסמו את ממצאיהם במאמר. קהילת המתמטיקאים הוכתה בתדהמה. עד כה, לא היה ידוע אם קיימת בעולם צורה יחידה שיכולה לענות על התנאים הללו. סמית', קפלן ושותפיהם למאמר ג'וזף סמואל מאיירס, וחיים גודמן שטראוס, מצאו לא רק את הצורה הזו, אלא צורות נוספות, ובמהלך הכתיבה הבינו את המשותף שביניהן באופן שפותח את הדלת לגילוי צורות נוספות בהמשך.

אין להתבלבל, "אריח איינשטיין" לא קשור לפיזיקאי אלברט איינשטיין - המונח נובע ממשחק מילים על הצירוף "אבן אחת" Ein Stein, בגרמנית. מה שמייחד אותו הוא האופן שבו ניתן להשתמש בו כדי לכסות משטח דו־מימדי אינסופי, מבלי ליצור דפוסים של מקבצי אריחים שחוזרים על עצמם שוב ושוב באופן צפוי ומחזורי.

ריצוף מחזורי הוא, למשל, אריחי קרמיקה של רצפת בית. ריבוע ליד ריבוע ליד ריבוע - תבנית מחזורית מושלמת. אפשר לרצף את המישור לא רק עם ריבועים אלא גם עם מלבנים, משושים, מחומשים - כולם יכולים להיות חלק מריצוף דקורטיבי. אך רק חלק מן הצורות יכולות למלא לבדן את המישור בלי שיתקבלו חורים, או חפיפות.

כאשר מצליחים לרצף את המישור באמצעות אריח אחד או כמה אריחים, המחזוריות כמעט מובנת מאליה. למשל, אם נציב משולש שווה צלעות ולידו עוד משולש זהה אבל הפוך, הרי שהמשולש הבא שוב יצטרך להיות ישר.

איך ירדו מ־20 אלף צורות, לאחת?

האם ניתן ליצור ריצוף של המישור באמצעות צורה אחת בלי שתהיה בו מחזוריות של דוגמות? צורות ריצוף א־מחזורי התגלו לראשונה בשנות ה־60. המתמטיקאי רוברט ברגר הצליח לחבר יחד כ־20 אלף צורות, ואז לחבר אליהן עוד פלטה של אותן 20 אלף צורות, כך שהמישור התמלא עד אפס מקום, אך לא ניתן היה למצוא בו חזרה והישָנוּת תבניתית.

"זה היה מאוד מלהיב", אומר קפלן. "אבל הייתה לקהילה תחושה חזקה שזה לא הפיתרון האופטימלי. אם אפשר לעשות את זה עם 20,000 אריחים, מה הסיכוי שאי אפשר בפחות?". תוך זמן קצר כבר התגלה פתרון עם 104 אריחים, אחר כך 40 אריחים ובשנות ה־70, כבר נמצא פיתרון של שישה אריחים. אחריו התרחשה פריצת הדרך הגדולה, כאשר בסוף שנות ה־70 רוג'ר פנרוז מצא שני אריחים שמצליחים יחד לרצף את המישור באופן לא מחזורי (ראו תרשים). מאז התחום יחסית תקוע.

"זה מאוד מתסכל כשהפתרון הכי טוב הוא שניים", אומר קפלן. "כל כך קרוב לאחד. לא האמנו שבאמת אין ולא יכול להיות אחד, ולא היה שם הסבר מתמטי הגיוני".

מגוון מתמטיקאים ניסו לתקוף את הסוגייה והצליחו למצוא צורות שמצליחות לרצף את המישור אבל רק אם משתמשים בצורה וגם בגרסת היפוך הסימטריה שלה. עוד צורה שהתקרבה לפתרון הם אריחי Socolar-Taylor שהתגלו ב־2013, מורכבים מכמה חתיכות שאינן מחוברות זו לזו. אם מתייחסים לחתיכות כצורה יחידה, אפשר לרצף באמצעותה את המישור ללא חזרות.

סמית' גילה את הכובע בטעות

דיוויד סמית' דווקא לא יצא לחפש פתרון לחידה הזו, אם כי בהחלט היה מודע אליה. הוא אהב לשחק עם אריחים, למטרות חן ועניין, ונהנה ליצור ריצופים כן ולא מחזוריים. לאחר שעיצב את ה"כובע" במחשב, המצולע עורר בו ניצוץ סקרנות. הוא שמח לגלות שהוא אכן מרצף את המישור, וחיפש לראות מתי תופיע המחזוריות. וזה לא קרה. הוא בדק אם ומתי המצולע מאלץ אותו ליצור חורים או חפיפות, וגם זה לא קרה. תמיד אפשר היה להניח אריח נוסף.

אחרי שהדפיס את הצורה על נייר, ושיחזר את התופעה גם בעולם הפיזי, הוא התקשר לקפלן, אותו הכיר כאמור מקבוצת הדיון בנושא. קפלן החל להריץ תוכנות במחשב כדי לראות כמה רחוק אפשר להגיע עם הריצוף, ובינתיים סמית' המשיך לרצף משטחים על נייר בבית.

"בדצמבר, חודש בלבד אחרי שדייב שלח לי את הכובע, הוא שלח לי צורה נוספת - הצב. התגובה שלי הייתה 'נהדר! אבל תן לי קודם כל להבין את הראשונה'. אבל למזלנו היינו כבר ארבעה על המשימה הזו".

 צילום: דיוויד סמית', ג'וזף סמואל מאיירס, קרייג קפלן וחיים גודמן-שטראוס.

אחד מהארבעה הוא ד"ר ג'וזף סמואל מאיירס, שגם לו סיפור מעניין. הוא עשה בעבר דוקטורט בטריניטי קולג' בארה"ב, אבל פרש והיום עוסק במתמטיקה ללא משרה רשמית. הוא מתחרה באולימפיאדות מתמטיקה, כותב מאמרים, מרצה במסגרות לא אקדמיות ועורך אתרי מדע לחובבי מתמטיקה. "מאיירס התחיל להסתכל על הצורה החדשה שדייב שלח, והוא הבין בהדרגה שהצורות האלה יותר דומות ממה שחשבנו", אומר קפלן, "ושבעצם כל הצורות מן המשפחה הזו יכולות לרצף את המישור ללא חזרתיות. כשהוא הראה לנו את הדמיון, אמרנו - איך לא ראינו את זה קודם".

מה הסיכוי שתוכל להסביר בשפה של לא מתמטיקאים מה הקשר בין הצורות?
"אנסה. לכובע יש פאות בשני גדלים, יש לו פאות קצרות, וארוכות. אם מאריכים את הארוכות ומקצרים את הקצרות והצורה עדיין נסגרת, אז מקבלים את הצב. אפשר גם לחלק את הכובע ל"צורות עפיפון" וגם הצב עשוי מ"צורות עפיפון" דומות. יש רק כמה דרכים שבהן אני יכול לחבר צורות עפיפון יחד, ונראה שהצורות הללו כולן נותנות את המענה שאנחנו מחפשים".

אנחנו יודעים מדוע זה קורה דווקא להן?
"התשובה הפשוטה היא לא. אנחנו עדיין לא יודעים, וזה כמובן מלהיב אותנו מאוד, כי אם נחשוף את הסיבה, אולי נגלה עוד משהו מעניין ומשמעותי על גיאומטריה. זה מה שקרה לגבי הצורות של פנרוז. הוא גילה אותן מתוך ניסוי וטעיה, אבל בהמשך הסתבר שאם אנחנו לוקחים קוביה מסויימת בחמישה מימדים וכאילו חותכים ממנה פרוסה, אנחנו מקבלים את אריחי פנרוז. זה מרגיש כמו סוג של הסבר".

יישום פרקטי עם טוויסט ישראלי

"כמתמטיקאים אנחנו מחפשים תשובות מעצם כך שהשאלות מטרידות אותנו, אפילו אם אין לכך נימוק פרקטי. אבל כשאנחנו רואים קשר בין מה שאנחנו עושים לבין העולם האמיתי - זה כיף! כשפרופ' דן שכטמן מהטכניון גילה את הגביש קווזיפריודי, כלומר הוא הביט במיקרוסקופ וראה במו עיניו סימטריה לא מחזורית בגבישים מן הטבע, בהתחלה לא האמינו לו. היה קל יותר לקבל את הממצאים שלו, כשהסתבר שהגבישים הללו מסתדרים בדפוס של אריחי פנרוז.

"הגילוי של שכטמן הופיע רק 5־7 שנים לאחר שפנרוז פרסם את האריחים שלו. האם יפציע בהמשך גילוי דומה גם לכובע והצב שלנו? אולי. הלוואי. אבל אין הכרח שזה יקרה".

מה קורה עכשיו בתחום?
"החיפוש אחר אריח אינשטיין הבא נמצא כעת בשיאו. הרי גם מדע הוא סוג של ספורט, ואם כבר ידוע שנמצא אריח אחד, אז החסם של החשש שאין זה אפשרי הוסר. אחד האתגרים המסקרנים הוא האפשרות למצוא צורות שממלאות באופן לא מחזורי את המישורהתלת־ממדי. אני מקווה שנצליח באמצעות הגילוי הזה להלהיב גם דור חדש של מתמטיקאים, שנחשפים לרעיונות הללו כילדים".

בזכותם של המתמטיקאים החובבים

"דיסציפלינת הריצוף על המתמטיקה והאסתטיקה שלה, ממש מתאימה לחקירה על ידי אנשים שהם לא מהתחום, כי הבעיה נמצאת ממש מול העיניים שלך ואפשר לשחק בה אפילו עם צורות מנייר, באופן שמערב את החושים. יש היסטוריה של אנשים ללא השכלה אקדמית לכאורה מתאימה, שאיתרו תגליות בתחום הזה", קפלן אומר.

"למשל מרג'ורי רייס. בשנות ה־70 היו קוראים לה 'עקרת בית', אך היא חשפה גילויים חדשים בתחום הריצוף באמצעות מחומשים, ונחשבת למתמטיקאית בעלת תרומה משמעותית". רייס הייתה אם לחמישה ילדים, תושבת סן דייגו. בנה היה מנוי למגזין Scientific America, ורייס נהגה לחטוף כל גיליון חדש שהגיע ולהסליק אותו, כדי לקרוא טור בשם "משחקי מתמטיקה" מאת המתמטיקאי החובב רוברט גרדנר. יום אחד עסק הטור במחומשים, וגרדנר סיפר כי מספר המחומשים שיכולים לרצף את המישור הוא ידוע. אך לאחר זמן מה התגלו עוד מחומשים, וב־1975 גרדנר פרסם זאת בטורו. רייס נדהמה מהשינוי הזה בהסכמות של מדע המתמטיקה, שהתרחש מול עיניה, ונדלקה - אולי היא תוכל למצוא עוד מחומשים כאלה גם כן?

היא עמלה קשה בכל רגע פנוי, על כרטיסיות נייר אותן הסתירה ממשפחתה וחבריה. תוך כמה חודשים מצאה מספר מחומשים חדשים שיכולים לרצף את המישור. היא שלחה את הממצאים שלה לגרדנר, ששלח אותם למתמטיקאית דוריס שאטשניידר, מומחית למחומשים, שהייתה די סקפטית בהתחלה. אבל הממצאים של רייס נמצאו כנכונים, והיא המשיכה ומצאה 58 מחומשים לא ידועים נוספים, אותם הצליחה לחלק ל־12 קטגוריות, והמשיכה לעסוק בתחום בהתלהבות עד פטירתה ב־2017. שאטשניידר כתבה בהמשך מאמר בשם "בזכותם של חובבים" (In praise of amateurs) בו טענה כי לחובבים יש תפקיד חשוב בקידום מדע כמו מתמטיקה: הם לא שבויים בדיוק באותן קונספציות של המדענים המנוסים, הם נלהבים מאוד ולא שחוקים, ואין להם חסמים של פוליטיקה ואגו שלפעמים עוצרים התקדמות".

ספציפית תחום הריצוף מלא בחובבנים בגלל המיידיות הפיזית שלו, אומר קפלן. גם בתחום הריצוף הא־מחזורי, דיוויד סמית' הוא לא הראשון. ג'ואן טיילור, תושבת טזמניה באוסטרליה, חיפשה את האריח הא־מחזורי, ומצאה משושה המתקרב להיות בעל התכונות הללו, מספיק קרוב כדי שיכללו את ממצאיה במאמר מדעי. היום היא מנהלת אתר אינטרנט בו היא ממשיכה לפרסם את ממצאיה ויוצרת שיתופי פעולה. היא מציעה גם טריקים לחשיבה מחודשת על תכונות של צורות. "נסו לצפות בצורה דרך עיניים כמעט עצומות", היא אומרת, "כך הפרטים לא מסיחים את הדעת מהמבנה. לפעמים עוד מידע מתגלה כאשר מסתכלים מהצד על דף כמעט אופקי ומסובבים אותו באיטיות".

בגלל המיידיות והיופי שניתן למצוא בו, זו גם דלת כניסה למתמטיקה עבור ילדים ובני נוער, וניתן למצוא ברחבי הרשת מגוון פעילויות בתחום שאפשר לעשות עם ילדים.

הגיאומטריה הסוריאליסטית של אשר

אחד החובבים המפורסמים של תחום הריצוף של המישור הוא האמן ההולנדי מאוריץ קורנליס אשר, שקיצר את שמו ל־MC Escher עוד לפני שזה היה פופולארי. ביצירותיו הוא חקר עצמים שלא יכולים להתקיים במציאות, סימטריות ופרספקיטבות משונות. הוא גם צייר מישורים על גבי מישורים של 'אריחים' בעלי צורות בלתי שגרתיות של ציפורים, דגים או לטאות, וביקש לראות איך הצורות יכולות להתמזג אלו בתוך אלו, להפוך בהדרגה מדו־ממדיות לתלת־ממדיות ולהציע סוגים שונים של אינסופיות.

"אשר היה מושפע מן העיצובים הגיאומטריים של האיסלאם, שמהווים גם את חלק הארי של המחקר שלי, כשאני לא עוסק בריצופים א־מחזוריים", אומר קפלן. "אנחנו מוצאים את הדפוסים הללו במסגדים באיראן וגם בחלק המוסלמי במקור של ספרד. אבל בעוד באמנות האיסלאם הצורות הללו הן בהכרח לא פיגורטיביות, אשר נתן להן פנים ואופי, וזה אחד הדברים שהופכים את העבודות שלו למספקות כל כך". אשר נפטר ב־1972, ואף שהיה כנראה מודע לסוגיית הא־מחזוריות, הנושא עדיין לא היה מספיק מפותח בתקופת השיא האומנותי שלו, אחרת וודאי היה חוקר גם את הנושא הזה, מאמין קפלן. אריחי פנרוז התגלו רק אחרי מותו. בין אשר ופנרוז הייתה מערכת יחסים פורה. פנרוז שהושפע מאוד מעבודותיו של אשר וחקר אותן בכלים מתמטיים, אך גם שלח לו רעיונות שבתורם השפיעו על העבודות של אשר, למשל המפל העולה ויורד בו זמנית, והמדרגות האינסופיות.

קפלן: "אשר פיתח תיאוריה משלו לגבי החלוקה המתמטית של המישור הדו־ממדי, והן שוחזרו במתמטיקה המודרנית. לו הוא היה מכיר את האריח שלנו, הוא בטח היה מוצא לו מגוון יישומים אסתטיים".